Question

15．已知直线y=-$\frac{1}{2}$x+1与x轴、y轴分别交于B点、A点，直线y=2x-2与x轴、y轴分别交于D点、E点，两条直线交于点C；
（1）求A、B、C、D、E的坐标；
（2）请用相似三角形的相关知识证明：AB⊥DE；
（3）求△CBD的外接圆的半径．

Answer 1

分析 （1）由两直线的解析式可求得A、B、D、E的坐标，再联立两直线解析式可求得C点坐标；
（2）利用A、B、D、E的坐标可求得OA、OB、OD、OE的长，则可证得△AOB∽△DOE，可求得∠OED=∠OBA，则可求得∠DCB=90°，可证得结论；
（3）由（2）的结论，结合圆周角定理可知BD即为△CBD的外接圆的直径，由B、D的坐标可求得BD的长，则可求得半径．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，令x=0可得y=1，令y=0可求得x=2，
∴A（0，1），B（2，0），
在y=2x-2中，令x=0可得y=-2，令y=0可求得x=1，
∴D（1，0），E（0，-2），
联立两直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+1}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{5}}\\{y=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{6}{5}$，$\frac{2}{5}$）；

（2）由（1）可知OA=1，OB=2，OD=1，OE=2，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OB}{OE}$，且∠AOD=∠DOE，
∴△AOB∽△DOE，
∴∠DEO=∠ABO，且∠ODE=∠CDB，
∴∠DCB=∠DOE=90°，
∴AB⊥DE；
（3）由（2）可知∠DCB=90°，
∴BD为△CBD外接圆的直径，
∵OB=2，OD=1，
∴BD=1，
∴△CBD外接圆的半径为$\frac{1}{2}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识．在（1）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中求得∠DEO=∠ABO是解题的关键，在（3）中确定出BD为其外接圆的直径是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．