Question

10．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，AD，BC的延长线相交于点P
（1）求证：△CDP∽△ABP；
（2）若AD=PD=3，PC=2$\sqrt{3}$，分别求AB，CD的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠PCD=∠A，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接BD，由AB是半圆O的直径，得到BD⊥AP，于是得到AB=PB，根据相似三角形的性质得到$\frac{PD}{PC}=\frac{PB}{PA}$，求得AB=PB=3$\sqrt{3}$，然后根据相似三角形的性质得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠PCD=∠A，
∵∠P=∠P，
∴△CDP∽△ABP；

（2）解：连接BD，
∵AB是半圆O的直径，
∴BD⊥AP，
∵AD=PD，
∴AB=PB，
∵△CDP∽△ABP，
∴$\frac{PD}{PC}=\frac{PB}{PA}$，
∵AD=PD=3，PC=2$\sqrt{3}$，
∴PB=$\frac{3×6}{2\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AB=PB=3$\sqrt{3}$，
∵△CDP∽△ABP，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{PD}{PB}$，
∴CD=$\frac{3\sqrt{3}×3}{3\sqrt{3}}$=3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．