Question

2．先观察下列等式，再回答下列问题：
①$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{1+1}$=1$\frac{1}{2}$；
②$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2+1}$=1$\frac{1}{6}$；
③$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$=1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3+1}$=1$\frac{1}{12}$．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想$\sqrt{1+\frac{1}{{5}^{2}}+\frac{1}{{6}^{2}}}$的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．

Answer 1

分析 （1）根据观察，可发现规律，根据规律，可得答案；
（2）根据观察，可发现规律$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1$\frac{1}{n（n+1）}$．

解答 解：（1）$\sqrt{1+\frac{1}{{5}^{2}}+\frac{1}{{6}^{2}}}$=1+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$=1$\frac{1}{30}$，
$\sqrt{1+\frac{1}{{5}^{2}}+\frac{1}{{6}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}}$=$\sqrt{\frac{25×36+36+25}{25×36}}$=$\sqrt{\frac{3{1}^{2}}{3{0}^{2}}}$=$\frac{31}{30}$=1$\frac{1}{30}$；
（2）$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1$\frac{1}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了二次根式的性质与化简，观察发现规律$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1$\frac{1}{n（n+1）}$是解题关键．