Question

14．设a＜-1，0≤x≤-a-1，且函数y=x²+ax的最小值为-$\frac{1}{2}$，则常数a=-$\frac{3}{2}$或-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据已知条件得到抛物线y=x²+ax与x轴的交点为（0，0），（-a，0），求得-a＞1，抛物线y=x²+ax的对称轴为直线x=-$\frac{a}{2}$，当-$\frac{a}{2}$＞1时，求得a=-$\frac{3}{2}$；当-$\frac{a}{2}$＜1时，求得a=-2$\sqrt{2}$．

解答 解：令y=0，则x²+ax=0，
解得：x=0或-a，
∴抛物线y=x²+ax与x轴的交点为（0，0），（-a，0），
∵a＜-1，
∴-a＞1，
∵抛物线y=x²+ax的对称轴为直线x=-$\frac{a}{2}$，
∴当-$\frac{a}{2}$＞1时，
即当x=1时，函数y=x²+ax有最小值，
∴1+a=-$\frac{1}{2}$，
∴a=-$\frac{3}{2}$；
当-$\frac{a}{2}$＜1时，
即当x=-$\frac{a}{2}$时，函数y=x²+ax有最小值，
∴-$\frac{{a}^{2}}{4}$=-$\frac{1}{2}$，
∴a=±2$\sqrt{2}$；
∵a＜-1，
∴a=-2$\sqrt{2}$，
综上所述：常数a=-$\frac{3}{2}$或-2$\sqrt{2}$，
故答案为：-$\frac{3}{2}$或-2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的单调性是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．