Question

13．如图，平行四边形AOBC的顶点O是坐标原点，OB在x轴的正半轴上，点D为BC的中点，点A、D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，己知：∠AOB=60°．
（1）求$\frac{OA}{OB}$的值；
（2）当OA=8时，过点D作直线l平行于x轴，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意，可以求得OA、OB之间的关系，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以求得点Q的坐标，从而可以解答本题．

解答 解：（1）设点A的坐标为（a，c），点B的坐标为（b，0），
∵∠AOB=60°，
∴OA=2a，c=$\sqrt{3}a$，
即点A（a，$\sqrt{3}a$），
∴点C（a+b，$\sqrt{3}a$），
所以点D（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），
∵点A、D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，
∴$a•\sqrt{3}a=\frac{a+b}{2}•\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
解得，$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2a}{b}=\frac{2}{3}$，
即$\frac{OA}{OB}=\frac{2}{3}$；
（2）点Q的坐标为（18，-$2\sqrt{3}$）．
如右图所示，作BC⊥CP，CP交直线l于点P，作BQ⊥BC且BQ=CP，连接PQ，
∵OA=8，四边形OACB是平行四边形，∠AOB=60°，$\frac{OA}{OB}=\frac{2}{3}$，
∴∠CDP=60°，CD=4，OB=12，
∴DP=8，PC=4$\sqrt{3}$，
∴BQ=4$\sqrt{3}$，
∴点Q到x的距离是：BQ•sin30°=$4\sqrt{3}•\frac{1}{2}=2\sqrt{3}$，
点Q到y轴的距离是：OB+BQ•cos30°=12+$4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=6$+12=18，
即点Q的坐标为（18，-$2\sqrt{3}$）．

点评 本题考查矩形的判定，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．