Question

8．如图，正方形ABCD的边长为2，点P沿BC边从点B运动到点C，以AP为直角边作等腰直角△APE，作△APE的外接圆⊙M，点M移动的距离为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 因为当点P在点B时，外接圆的圆心M在正方形对角线的交点上；当点P运动到点C时，△APE的外接圆的圆心在点D处，所以发现点M的运动轨迹是线段OD，因此求出OD的长即可．

解答 解：连接AC、BD交于点O，
∵△APE为等腰直角三角形，
∴△APE的外接圆⊙M的圆心就是斜边AE的中点，点M移动的距离就是OD的长，
在正方形ABCD中，∠AOD=90°，
∴AO=OD，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OD=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题是由动点组成的三角形的外接圆问题，计算量不大，但比较难理解；本题的关键是弄清动点P在特殊位置时，所构成的等腰直角△APE的外接圆的圆心的位置变化情况．