Question

4．如图①所示的正三角形纸板的边长为1，周长记为P₁，沿图①的底边剪去一块边长为$\frac{1}{2}$的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边一次剪去一块更小的正三角板（即其边长为前一块被减掉正三角形纸板边长的$\frac{1}{2}$）后，得图③，图④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为P_n，则P_n-P_n-1=${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P₁，P₂，P₃，P₄，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．

解答 解：∵P₁=1+1+1=3，
P₂=1+1+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
P₃=1+1+$\frac{1}{4}$×3=$\frac{11}{4}$，
P₄=1+1+$\frac{1}{4}$×2+$\frac{1}{8}$×3=$\frac{23}{8}$，
…
∴p₃-p₂=$\frac{11}{4}$-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{2}$）²；
P₄-P₃=$\frac{23}{8}$-$\frac{11}{4}$=$\frac{1}{8}$=（$\frac{1}{2}$）³，
…
则P_n-P_n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1．
故答案为：${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$．

点评 此题考查图形的变化规律，解答此题的关键是通过观察图形，分析、归纳发现其中的运算规律，并应用规律解决问题．