Question

15．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=1，BD⊥BC，BD=BC，CF平分∠BCD交BD、AD于E、F，则△EDF的面积为（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$-4
• B． 3$\sqrt{2}$-3
• C． 3$\sqrt{2}$-2
• D． 3$\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 过点B作BM⊥CD于点M，过点E作EN⊥CD于点N，由此可得出△BCD、△END为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可用CD的长表示长BM、BD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可得出AD、BD以及CD的长，再根据角平分线以及相似三角形的性质即可求出FD、DN的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：过点B作BM⊥CD于点M，过点E作EN⊥CD于点N，如图所示．
∵BD⊥BC，BD=BC，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴CD=2BM=$\sqrt{2}$BD．
在Rt△ABD中，AB=1，AD=$\frac{1}{2}$CD，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
∴BD²=AB²+AD²，
∴CD=2，BC=BD=$\sqrt{2}$，AD=BM=1．
∵△BCD为等腰直角三角形，EN⊥CD，
∴△END为等腰直角三角形，
∴EN=DN．
∵CF平分∠BCD，BD⊥BC，EN⊥CD，
∴EN=EB，CN=BC=$\sqrt{2}$，
∴EN=DN=2-$\sqrt{2}$．
∵AB∥CD，∠A=90°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CD，
∴△ENC∽△FDC，
∴$\frac{EN}{FD}=\frac{CN}{CD}$，
∴FD=$\frac{EN•CD}{CN}$=2$\sqrt{2}$-2，
∴S_△EDF=$\frac{1}{2}$FD•DN=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$-2）×（2-$\sqrt{2}$）=3$\sqrt{2}$-4．
故选A．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是求出FD、DN的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．