Question

2．在平面直角坐标系中，已知A（-1，2）、B（7，8）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为直角三角形，则满足条件的C点的个数共有（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 过点A作AB的垂线，交x轴于点C₁，交y轴于点C₂；过点B作AB的垂线，交x轴于点C₃，交y轴于点C₄；根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径作圆，根据A和B的坐标求出AB的长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与x轴相离，可得出圆与y轴交于2点．所以满足条件的点共有6个．

解答 解：分三种情况考虑：当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C₁，交y轴于点C₂，此时满足题意的点为C₁，C₂；
当B为直角顶点时，过B作BC⊥⊥AB，交x轴于点C₃，交y轴于点C₄，此时满足题意的点为C₃，C₄；
当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（-1，2），B（7，8），可得此圆与x轴相离，
则此圆与x轴没有交点，与y轴有2个交点，分别为C₅，C₆．
综上，所有满足题意的C有6个．
故选A．

点评 此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．注意：若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．