Question

11．如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，给出下列结论：①∠AME=108°，②AN²=AM•AD；③MN=3-$\sqrt{5}$；④S_△EBC=2$\sqrt{5}$-1，其中正确的结论是①②③（把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析 根据正五边形的性质得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根据三角形的内角和即可得到结论；由于∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根据等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根据相似三角形的性质得到和AM，AN，AD有关的比例式，等量代换得到AN²=AM•AD；根据AE²=AM•AD，列方程得到MN=3-$\sqrt{5}$；在正五边形ABCDE中，由于BE=CE=AD=1+$\sqrt{5}$，得到BH=$\frac{1}{2}$BC=1，根据勾股定理得到EH的值，根据三角形的面积得到结论．

解答 解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，故①正确；
∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AM}{AE}$，
∴AE²=AM•AD；
∴AN²=AM•AD；故②正确；
∵AE²=AM•AD，
∴2²=（2-MN）（4-MN），
解得：MN=3-$\sqrt{5}$；故③正确；
在正五边形ABCDE中，
∵BE=CE=AD=1+$\sqrt{5}$，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴EH=$\sqrt{B{E}^{2}-BH}$=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$，
∴S_△EBC=$\frac{1}{2}$BC•EH=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$，故④错误；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．