Question

7．如图所示，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限的图象经过点B，与OA交于点P，且OA²-AB²=18，则点P的横坐标为（　　）

• A． 9
• B． 6
• C． 3
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先设点B坐标，再由等腰直角三角形的性质得出OA=$\sqrt{2}$AC，AB=$\sqrt{2}$AD，OC=AC，AD=BD，代入OA²-AB²=18，得到ab=9，即可求得反比例函数的解析式，然后联立方程，解方程即可求得P的横坐标．

解答 解：设点B（a，b），
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA=$\sqrt{2}$AC，AB=$\sqrt{2}$AD，OC=AC，AD=BD，
∵OA²-AB²=18，
∴2AC²-2AD²=18即AC²-AD²=9
∴（AC+AD）（AC-AD）=9，
∴（OC+BD）•CD=9，
∴ab=9，
∴k=9，
∴反比例函数y=$\frac{9}{x}$，
∵△OAC是等腰直角三角形，
∴直线OA的解析式为y=x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{9}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴P（3，3），
故选C．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质和待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点点坐标特征，解答时，注意因式分解的运用．