Question

17．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=8$\sqrt{2}$cm，点P（不与A，B重合）从点A出发，沿AB方向以$\sqrt{2}$cm/s的速度向终点B运动，在运动过程中，过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQR，且∠PQR=90°（点B，R位于PQ两侧），设△PQR与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm²），点P的运动时间为t（s）．
（1）当点Q与点C重合时，t=4．
（2）求S与t之间的函数关系式．
（3）直接写出点R与△ABC的顶点的连线平分△ABC面积时t的值．

Answer 1

分析 （1）当点Q与点C重合时，由等腰直角三角形的性质得出AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，求出4$\sqrt{2}$÷$\sqrt{2}$=4（s）即可；
（2）分三种情形①当0＜t≤4时，设PR、PQ分别交AB于点E、F，则重叠部分为△PEF，②当4＜t≤$\frac{16}{3}$时，如图3中，设PR、RQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．③当$\frac{16}{3}$＜t＜8时，如图4中，则重合部分为△PRQ，分别计算即可解决问题．
（3）分情况讨论：①根据三角形的面积关系得：AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，根据等腰直角三角形的性质得：PM=PB=$\frac{1}{2}$BM，得出AP=$\frac{3}{4}$AB=6$\sqrt{2}$，即可得出结果；
②如图⑤所示：同②得：t=$\frac{32}{5}$；③如图⑥所示：设BR交AC于M，AP=$\sqrt{2}$t，根据三角形的面积关系得：AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=4，根据等腰直角三角形的性质得：AM=$\sqrt{2}$AP=2t，得出2t=4，解得t=2；即可得出答案．

解答 解：（1）当点Q与点C重合时，
∵PQ⊥AB，△ABC是等腰直角三角形，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
∴4$\sqrt{2}$÷$\sqrt{2}$=4（s），
即当点Q与点C重合时，t=4；
故答案为：4；
（2）①当0＜t≤4时，
如图①中，设PR、PQ分别交AB于点E、F，则重叠部分为△PEF，
∵AP=$\sqrt{2}$t，
∴EF=PE=t，
∴S=S_△PEF=$\frac{1}{2}$•PE•EF=$\frac{1}{2}$t²．
②当4＜t≤$\frac{16}{3}$时，如图②中，设PR、RQ分别交AB于E、G，
则重叠部分为四边形PEGQ．
∵PQ=PC=8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∴PR=16-2t，
∴RE=PR-PE=16-3t，
∴S=S_△PRQ-S_△REG=$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）²-$\frac{1}{2}$（16-3t）²=-$\frac{7}{2}$t²+32t-64．
③当$\frac{16}{3}$＜t＜8时，如图③中，则重合部分为△PRQ，
∴S=S_△PRQ=$\frac{1}{2}$PQ²=$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）²=t²-16t+64．
（3）分情况讨论：
①如图④所示：
根据三角形的面积关系得：AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
根据等腰直角三角形的性质得：PM=PB=$\frac{1}{2}$BM，
∴AP=$\frac{3}{4}$AB=6$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$t=6$\sqrt{2}$，
解得：t=6；
②如图⑤所示：同②得：t=$\frac{32}{5}$；
③如图⑥所示：
设BR交AC于M，AP=$\sqrt{2}$t，
根据三角形的面积关系得：AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=4，
根据等腰直角三角形的性质得：AM=$\sqrt{2}$AP=2t，
∴2t=4，
∴t=2；
综上所述：点R与△ABC的顶点的连线平分△ABC面积时t的值为6或$\frac{32}{5}$或2．

点评 本题是三角形综合题；考查了等腰直角三角形的性质、分段函数、三角形面积等知识，解题的关键是正确画出图象，学会分类讨论，属于中考压轴题．