Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2AC=2，BC=

3

AC=

3

，根据互余得到∠CAB=60°，再根据旋转的性质得到AC′=AC=1，AB′=AB=2，B′C′=BC=

3

，∠B′AB=30°，∠C′AB′=∠CAB=60°，则∠C′AD=∠C′AB′∠BAB′=30°，接着在Rt△AC′D中，利用∠C′AD=30°可得C′D=

3

3

AC′=

3

3

，所以B′D=B′C′-C′D=

2 3

3

，然后根据三角形面积公式、扇形面积公式和图中阴影部分的面积=S_扇形BAB′-S_△ADB′进行计算即可．

解答：解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，AB=2AC=2，
BC=

3

AC=

3

，
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，
∴AC′=AC=1，AB′=AB=2，B′C′=BC=

3

，∠B′AB=30°，∠C′AB′=∠CAB=60°，
∴∠C′AD=∠C′AB′∠BAB′=30°，
在Rt△AC′D中，∵∠C′AD=30°，
∴C′D=

3

3

AC′=

3

3

，
∴B′D=B′C′-C′D=

3

-

3

3

=

2 3

3

，
∴图中阴影部分的面积=S_扇形BAB′-S_△ADB′
=

30•π•22

360

-

1

2

×

2 3

3

×1
=

π- 3

3

．
故答案为

π- 3

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了扇形面积的计算和含30度的直角三角形三边的关系．