Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在CD上，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E、F．求证：BE=DF+EF．
（2）在第（1）小题中，当点P在CD的延长线上时，如图2，其他条件不变．试探索BE、DF、EF之间有怎样的数量关系，并对你的结论加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）如图1，证明∠ABE=∠DAF、∠BAE=∠ADF；进而证明△ABE≌△DAF，即可解决问题．
（2）如图2，类似于（1）中的方法，同理可证△ABE≌△DAF，即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°；
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠DAF，
∴∠ABE=∠DAF；同理可证∠BAE=∠ADF；
在△ABE与△DAF中，

∠ABE=∠DAF AB=AD ∠BAE=∠ADF

，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴BE=AF，AE=DF，
∴BE=DF+EF．
（2）EF=BE+DF．理由如下：
如图2，类似于（1）中的方法，
同理可证△ABE≌△DAF，
∴BE=AF，AE=DF，
∴EF=BE+DF．

点评：该题以正方形为载体，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等几何知识点；牢固掌握正方形的性质、全等三角形的判定及其性质是解题的关键．