Question

17．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和角平分线证出∠BAE=∠E．得出AB=BE，即可得出结论；
（2）同（1）证出DA=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．

解答 （1）证明：∵AE为∠ADB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB．
∴∠DAE=∠E．
∴∠BAE=∠E．
∴AB=BE．
∴CD=BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAF=∠DFA．
∴∠DAF=∠DFA．
∴DA=DF．
∵F为DC的中点，AB=4，
∴DF=CF=DA=2．
∵DG⊥AE，DG=1，
∴AG=GF．
∴AG=$\sqrt{3}$．
∴AF=2AG=2$\sqrt{3}$．
在△ADF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠E}&{\;}\\{∠ADF=∠ECF}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF=EF，
∴AE=2AF=4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．