Question

7．已知，在△ABC中，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），连接AD，以AD为边作菱形ADEF，且∠DAF=∠BAC=α，连接CF，如图1，当点D在线段BC上时，我们易得CF、BC、CD三条线段之间的数量关系为：CF+CD=BC．
（1）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请探究CF、BC、CD三条线段之间的数量关系并证明；
（2）如图3，当α=90°时，点D在线段BC的反向延长线上，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的数量关系；
②若菱形ADEF的边长为$\sqrt{2}$，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，求OC的长．

Answer 1

分析 （1）由∠DAF=∠BAC，得到∠BAD=∠CAF，根据菱形的性质得到AD=AF，根据全等三角形的性质得到CF=BD，等量代换得到结论；
（2）①根据已知条件得到∠BAD=∠CAF，由四边形ADEF是菱形，得到AD=AF，根据全等三角形的性质得到CF=BD，等量代换得到②根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠AFC，推出A，D，F，C四点共圆，由圆周角定理得到∠DCF=∠DAF=90°，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）CF=BC+CD；理由：
∵∠DAF=∠BAC，
∴∠DAF+∠DAC=∠BAC+∠CAD，
即∠BAD=∠CAF，
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF，
在△ABD与△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴CF=BD，
∵BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD；

（2）①CF=CD-BC，
理由：∵∠DAF=∠BAC，
∴∠DAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，
即∠BAD=∠CAF，
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF，
在△ABD与△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴CF=BD，
∵BD=CD-BC，
∴CF=CD-BC；
②∵△ABD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC，
∴A，D，F，C四点共圆，
∴∠DCF=∠DAF=90°，
∵四边形ADEF是菱形，∠DAF=90°，
∴四边形ADEF正方形，
∴DF=$\sqrt{2}$AD=2，OD=OF，
∴OC=$\frac{1}{2}$DF=1．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．