Question

16．（1）如图，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足：BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠DFB=20°，∠CDE=70°，求∠ABE的度数
（3）在前面的条件下，若P是BE上一点；G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．

Answer 1

分析 （1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）先由角平分线的定义可得：$∠CDF=\frac{1}{2}∠CDE$=35°，∠ABE=2∠ABF，然后根据两直线平行内错角相等，可得：∠2=∠CDF=35°，然后利用三角形外角的性质求出∠ABF的度数，进而可求∠ABE的度数；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠BPG+∠B，再根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出∠MGP、∠DPQ，根据两直线平行，内错角相等可得∠NGP=∠GPQ，然后列式表示出∠MGN=$\frac{1}{2}$∠B，从而判定②正确．

解答 （1）答：AB∥CD．
证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠CAB，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CAB，
∴AB∥CD；
（2）解：如图2，

∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴$∠CDF=\frac{1}{2}∠CDE$=35°，∠ABE=2∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠2=∠CDF=35°，
∵∠2=∠DFB+∠ABF，∠DFB=20°，
∴∠ABF=15°，
∴∠ABE=2∠ABF=30°；
（3）解：如图3，根据三角形的外角性质，∠1=∠BPG+∠B，
∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠BPG，∠MGP=$\frac{1}{2}$∠DGP，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DGP，
∴∠MGP=$\frac{1}{2}$（∠BPG+∠B），
∵PQ∥GN，
∴∠NGP=∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠BPG，
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=$\frac{1}{2}$（∠BPG+∠B）-$\frac{1}{2}$∠BPG=$\frac{1}{2}$∠B，
根据前面的条件，∠B=30°，
∴∠MGN=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴①∠DGP-∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变．

点评 本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，综合性较强，难度较大，仔细分析图形，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．