Question

6．如图，平面直角坐标系中有一点A（a，b），且满足$\sqrt{a-8}$+（b-4）²=0，将Rt△ABC的直角顶点与A重合并绕直角顶点A旋转，直角边AB与x轴始终交于D，连接OA．
（1）求A点坐标；
（2）若平面内有一点M，使四边形ADOM组成菱形，求D点坐标；
（3）当△ABC绕直角顶点A旋转过程中，若另一直角边AC与x轴交于E，此时$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{E}^{2}}$的值是否发生变化？若不变，求$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{E}^{2}}$的值是多少？若改变请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，得到A点坐标；
（2）作AN⊥x轴于点N，设OD=x，根据菱形的四条边相等列出方程，解方程即可；
（3）根据三角形的面积公式得到AD×AE=DE×AN，根据勾股定理、分式的加减运算法则计算即可．

解答 解：（1）由题意得，a-8=0，b-4=0，
解得，a=8，b=4，
则点A的坐标为（8，4）；

（2）作AN⊥x轴于点N，
∵四边形ADOM组成菱形，
∴OD=AD，
设OD=x，则AD=x，DN=8-x
在Rt△ADN中AD²=DN²+AN²
即x²=（8-x）²+4²，
解得，x=5
∴D坐标（5，0）；

（3）$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{E}^{2}}$的值不变，
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$×AD×AE=$\frac{1}{2}$×DE×AN，
∴AD×AE=DE×AN，
∴AD²×AE²=DE²×AN²，
则$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{A{D}^{2}+A{E}^{2}}{A{D}^{2}×A{E}^{2}}$=$\frac{D{E}^{2}}{D{E}^{2}×A{N}^{2}}$
=$\frac{1}{A{N}^{2}}$
=$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查的是菱形的性质、非负数的性质，掌握菱形的四条边相等、灵活运用三角形的面积公式是解题的关键．