Question

6．如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（　　）

• A． AE=5
• B． ∠BOE=∠BCE
• C． CE⊥OB
• D． sin∠BOE=$\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 A、作辅助线，构建矩形AGOF，利用面积为5，代入面积公式可求得AE的长为5，此说法正确；
B、证明∠ABC+∠EOC=180°，根据对角互补的四边形四点共圆得：E、B、C、O四点共圆，则∠BCE=∠BOE，此说法正确；
C、因为E、B、C、O四点共圆，所以根据垂径定理可知：要想OB⊥CE，得保证过圆心的直线平分弧，即判断弦长BE和OE的大小即可；
D、利用同角的三角函数计算．

解答 解：A、过O作OF⊥AD于F，作OG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OA=OD，
∴AF=FD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵∠AGO=∠BAD=∠AFO=90°，
∴四边形AGOF是矩形，
∴OG=AF=2，
∵S_△AEO=$\frac{1}{2}$AE•OG=5，
∴AE=$\frac{10}{OG}$=$\frac{10}{2}$=5，
所以此选项的说法正确；
B、∵OE⊥AC，
∴∠EOC=90°
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠EOC=180°，
∴E、B、C、O四点共圆，
∴∠BCE=∠BOE，
所以此选项的说法正确；
C、在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AB=3+5=8，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∴EO=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OE≠BE，
∵E、B、C、O四点共圆，
∵∠EOC=90°，
∴EC是直径，
∴EC与OB不垂直；
此选项的说法不正确；
D、sin∠BOE=sin∠BCE=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{3}{5}$，
所以此选项的说法正确，
因为本题选择说法错误的，
故选C．

点评 本题考查了矩形的性质和判定、四点共圆的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形的有关知识，较为麻烦，此类题相当于解决四个问题，尤其是第三问利用了圆中的性质进行证明，比较容易理解；本题还利用了同角的三角函数求一个角的正弦，这在解直角三角形中经常运用，要熟练掌握．