Question

20．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，则DE=5，CD=3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由∠A=∠A，∠ABD=∠E，推出△ABD∽△AEC，得到$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{AE}$，求得AE=8，于是得到DE=AE-AD=5，连接BE，根据勾股定理得到BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$，BE=$\sqrt{D{E}^{2}+B{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，通过△AEB∽△ACD，得到$\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{CD}$，于是得到结论．

解答 解：∵∠A=∠A，∠ABD=∠E，
∴△ABD∽△AEC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{AE}$，
即$\frac{3}{4}$=$\frac{6}{AE}$，
∴AE=8，
∴DE=AE-AD=5，
连接BE，
∵BD⊥AE，
∴∠ADB=∠BDE=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$，BE=$\sqrt{D{E}^{2}+B{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵∠A=∠A，∠ACD=∠AEB，
∴△AEB∽△ACD，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{CD}$，
即$\frac{8}{6}$=$\frac{4\sqrt{2}}{CD}$，
∴CD=3$\sqrt{2}$．
故答案为：5，3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键．