Question

5．已知$\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}$+$\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{n\sqrt{n+1}+（n+1）\sqrt{n}}$=$\frac{49}{50}$，则n=2499．

Answer 1

分析 首先把分母有理化，进一步计算得出结果建立关于n的方程，求得方程的解即可．

解答 解：$\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}$+$\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{n\sqrt{n+1}+（n+1）\sqrt{n}}$=$\frac{49}{50}$，
$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}$+$\frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{4}}{12}$+…+$\frac{（n+1）\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n（n+1）}$=$\frac{49}{50}$
1-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$=$\frac{49}{50}$
$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$=$\frac{1}{50}$
$\sqrt{n+1}$=50
n+1=2500
n=2499．
经检验n=2499是原方程的解．
故答案为：2499．

点评 此题考查分母有理化，主要利用平方差公式解决问题．