Question

15．数学探究课上老师处这样一道题：“如图，等边△ABC中有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，试求∠APB的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求∠APB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断
（1）在图中画出△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP₁B；
（2）试判断△AP₁P的形状，并说明理由；
（3）试判断△BP₁P的形状，并说明理由；
（4）由（2）、（3）两问可知：∠APB=150°．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的定义画出△AP₁B；
（2）连结PP₁，如图，根据旋转的性质得AP₁=AP，∠PAP₁=60°，则利用等边三角形的判定方法可判断△AP₁P为等边三角形；
（3）先根据旋转的性质得BP₁=PC=5，再利用△AP₁P为等边三角形得到PP₁=AP=3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△BP₁P为直角三角形，∠BPP₁=90°；
（3）由△AP₁P为等边三角形得到∠APP₁=60°，由（2）得∠BPP₁=90°，则∠AP₁B=150°，然后根据旋转的性质可得∠BPC=∠AP₁B=150°．

解答 解：（1）如图，△AP₁B为所作；
（2）连结PP₁，如图，
△AP₁P为等边三角形．理由如下：
∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP₁B，
∴AP₁=AP，∠PAP₁=60°，
∴△AP₁P为等边三角形；
（3）△BP₁P为直角三角形．理由如下：
∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP₁B，
∴BP₁=PC=5，
∵△AP₁P为等边三角形，
∴PP₁=AP=3，
∵PP₁²+PB²=BP₁²，
∴△BP₁P为直角三角形，∠BPP₁=90°；
（3）∵△AP₁P为等边三角形，
∴∠APP₁=60°，
而∠BPP₁=90°；
∴∠AP₁B=90°+60°=150°，
∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP₁B，
∴∠BPC=∠AP₁B=150°．
故答案为150°．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．