Question

17．已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若EF⊥BC，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等；
（2）直接利用菱形的性质结合勾股定理求出EF的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，
∴∠DAO=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∴∠AEF=180°-∠DAO-∠AOE=180°-30°-60°=90°，
∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴AO=$\sqrt{A{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AE=CF=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，
∴EF=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，正确应用菱形的性质是解题关键．