Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=$2\sqrt{2}$，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是2$\sqrt{3}$+2．

Answer 1

分析 首先考虑到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=60°，故△ACE是等边三角形，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE=45°，∠AEB=30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后在根据勾股定理求解

解答 解：连结CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°
∴∠BCA=∠BAC=45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC=∠DAE=45°，AC=AE
又∵旋转角为60°
∴∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形
∴AC=CE=AE=4
在△ABE与△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{AE=CE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBE   （SSS）
∴∠ABE=∠CBE=45°，∠CEB=∠AEB=30°
∴在△ABF中，∠BFA=180°-45°-45°=90°
∴∠AFB=∠AFE=90°
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
            BF=AF=$\sqrt{（\frac{AB}{2}）^{2}}$=2
又在Rt△AFE中，∠AEF=30，°∠AFE=90°
           FE=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$
∴BE=BF+FE=2+2$\sqrt{3}$
           故，本题的答案是：2+2$\sqrt{3}$

点评 此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用