Question

20．如图，点A是反比例函数y=$\frac{8}{x}$（x＞0）的图象上的一个动点，AC⊥x轴于点C；E是线段AC的中点，过点E作AC的垂线，与y轴和反比例函数的图象分别交于点B、D两点；连结AB、BC、CD、DA．设点A的横坐标为m．
（1）求点D的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（3）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？并求出此时AD所在直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）由点A在双曲线上，确定出A坐标，从而求出点E，D坐标；
（2）由（1）得到的点B，D，E的坐标判断出EB=ED，AE=EC，得出四边形ABCD是平行四边形，再用BD⊥AC即可；
（3）由（2）结合AC=BD建立方程求出m，从而得到点D，A坐标即可．

解答 解：（1）∵点A的横坐标为m，
∴点A的纵坐标为$\frac{8}{m}$，
∵E是AC的中点，AC⊥x轴，
∴E（m，$\frac{4}{m}$），
∵BD⊥AC，AC⊥x轴，
∴BD∥x轴，
∴点B，E，D的纵坐标相等，为$\frac{4}{m}$，
∴点D的横坐标为2m，
∴D（2m，$\frac{4}{m}$）；
（2）四边形ABCD是菱形，
∵B（0，$\frac{4}{m}$），E（m，$\frac{4}{m}$），D（2m，$\frac{4}{m}$），
∴EB=ED=m，
∵AE=EC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）∵平行四边形ABCD是菱形，
∴当AC=BD时，四边形ABCD是正方形，
∴2m=$\frac{8}{m}$，
∴m=2，或m=-2（舍），
∴A（2，4），D（4，2），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AD解析式为y=-x+6，
∴当m=2时，四边形ABCD是正方形，此时直线AD解析式为y=-x+6．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上的点的特点，平行四边形，菱形正方形的性质和判定，解本题的关键是用方程的思想解决问题．