Question

20．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC边上一点，AE与BD交于点F．已知AD=CD，BE=2CE，且△ABC的面积为60平方厘米，则△ADF的面积为6平方厘米；如果把“BE=2CE”改为“BE=nCE”其余条件不变，则△ADF的面积为$\frac{30}{2n+1}$平方厘米（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 先连接CF，过点E作EG∥AC，交BD于G，根据平行线分线段成比例定理，得出$\frac{GE}{DC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{EF}{AF}$=$\frac{GE}{AD}$=$\frac{2}{3}$，再根据BE=2CE，且△ABC的面积为60平方厘米，求得△ACE的面积，再根据$\frac{EF}{AF}$=$\frac{2}{3}$，以及AD=CD，求得△ADF的面积即可；如果把“BE=2CE”改为“BE=nCE”其余条件不变，可以运用相同的方法得出△ADF的面积．

解答 解：连接CF，过点E作EG∥AC，交BD于G，则
$\frac{GE}{DC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∵AD=CD，
∴$\frac{GE}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
又∵GE∥AD，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{GE}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∵BE=2CE，且△ABC的面积为60平方厘米，
∴△ACE的面积为60×$\frac{1}{3}$=20平方厘米，
∴△ACF的面积为20×$\frac{3}{5}$=12平方厘米，
∵AD=CD，
∴△ADF的面积=6平方厘米；

∵EG∥AC，
∴$\frac{GE}{DC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{n}{n+1}$，
∵AD=CD，
∴$\frac{GE}{AD}$=$\frac{n}{n+1}$，
又∵GE∥AD，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{GE}{AD}$=$\frac{n}{n+1}$，
∵BE=nCE，且△ABC的面积为60平方厘米，
∴△ACE的面积为60×$\frac{1}{n+1}$=$\frac{60}{n+1}$平方厘米，
∴△ACF的面积为$\frac{60}{n+1}$×$\frac{n+1}{2n+1}$=$\frac{60}{2n+1}$平方厘米，
∵AD=CD，
∴△ADF的面积=$\frac{30}{2n+1}$平方厘米；
故答案为：6，$\frac{30}{2n+1}$．

点评 本题主要考查了三角形的面积的计算，解决问题的关键是作平行线，根据平行线分线段成比例定理求得线段的比值．解题时注意：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．