题目内容
15．（1）如图1，∠MAN=90°，射线AD在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AD于点F，BE⊥AD于点E．求证：BE=AF（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
分析 （1）如图1，根据AAS证明△BAE≌△ACF，得BE=AF；
（2）如图2，结论仍然成立；先根据已知角的关系得：∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF，根据ASA证明△BAE≌△ACF，得BE=AF；
（3）如图3，先证明△BAE≌△ACF，则S△BAE=S△ACF，由CD=2BD得：S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC，从而得出结论．
解答 证明：（1）如图1，∵∠MAN=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA=∠AFC=90°，
∴∠BAE+∠EBA=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴BE=AF；
（2）如图2，（1）中结论仍然成立，理由是：
∵∠1=∠BAE+∠ABE，∠1=∠BAC，
∴∠BAC=∠BAE+∠ABE，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，
∵∠1=∠BAE+∠ABE，∠2=∠CAF+∠ACF，∠1=∠2，
∴∠BAE=∠ACF，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴BE=AF；
（3）如图3，∵∠2=∠DAC+∠ACF，∠2=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC+∠ACF，
∵∠BAC=∠BAE+∠DAC，
∴∠BAE=∠ACF，
∵∠1=∠BAE+∠ABE，∠2=∠DAC+∠ACF，∠1=∠2，
∴∠ABE=∠DAC，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴S△BAE=S△ACF，
∵CD=2BD，S△ABC=15，
∴S△ABD=$\frac{1}{3}$×15=5，
∴S△ACF+S△BDE=S△BAE+S△BDE=S△ABD=5．
则△ACF与△BDE的面积之和为5．
点评 此题是三角形的综合题，难度适中；考查了三角形全等的判定和性质以及三角形面积的求法，本题的关键是根据各自的条件证明△BAE≌△ACF，同时在同高三角形中，明确底边的比就是对应面积的比．
阅读快车系列答案
如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC边上一点，AE与BD交于点F．已知AD=CD，BE=2CE，且△ABC的面积为60平方厘米，则△ADF的面积为6平方厘米；如果把“BE=2CE”改为“BE=nCE”其余条件不变，则△ADF的面积为$\frac{30}{2n+1}$平方厘米（用含n的代数式表示）．
BD、CE是△ABC的中线，分别在BD、CE的延长线上截取DF=DB、EG=EC，连接AF、AG．求证：AF=AG．| A． | 1 | B． | -1 | C． | $\frac{1}{3}y$ | D． | $-\frac{1}{3}y$ |