Question

6．如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（0，-1）、B（4，-3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，点M是抛物线上一点，直线MN平行于y轴交直线AB于点N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x²+bx+c，求出b和c的值即可；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，过点A作AH⊥OB，垂足为点H，根据三角函数可求出AH的长，进一步得到BH的长，进而得到在Rt△ABH中，tan∠ABO的值；
（3）根据待定系数法可求直线AB的解析式，设点M的坐标为（m，m²-$\frac{9}{2}$m-1），点N坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m-1），再分两种情况：m²-4m=3或-m²+4m=3，进行讨论求出符合题意的点N的坐标即可．

解答 解：（1）将A（0，-1）、B（4，-3）分别代入y=x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}c=-1\\ 16+4b+c=-3\end{array}\right.$，
解得b=-$\frac{9}{2}$，c=-1．
所以抛物线的解析式为y=x²-$\frac{9}{2}$x-1；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，过点A作AH⊥OB，垂足为点H，

在Rt△AOH中，OA=1，sin∠AOH=sin∠OBC=$\frac{4}{5}$，
∴AH=OA•sin∠AOH=$\frac{4}{5}$，
∴OH=$\frac{3}{5}$，BH=OB-OH=$\frac{22}{5}$，
在Rt△ABH中，tan∠ABO=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{5}$÷$\frac{22}{5}$=$\frac{2}{11}$；
（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{kx+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1，
设点M的坐标为（m，m²-$\frac{9}{2}$m-1），点N坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m-1），
那么MN=|（m²-$\frac{9}{2}$m-1）-（-$\frac{1}{2}$m-1）|=|m²-4m|，
∵M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=BC=3
解方程m²-4m=3得m=2±$\sqrt{7}$；    
解方程-m²+4m=3得m=1或m=3；   
所以符合题意的点N有4个，（2-$\sqrt{7}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$-2），（2+$\sqrt{7}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$-2），（1，-$\frac{3}{2}$），（3，-$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，三角函数，解一元二次方程以及抛物线的性质，解答（3）题时要分类讨论．