如图.抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴与点A.交y轴于点C.抛物线的顶点为D.下列四个命题:①当x＞0时.y＞0,②若a=-1.则b=4,③抛物线上有两点P(x1.y1)和Q(x2.y2).若x1＜1＜x2.且x1+x2＞2.则y1＞y2,④点C关于抛物线对称轴的对称点为E.点G.F分别在x轴和y轴上.当m=2时.四边形EDFG周长的最小值为6．其中真命题的序号是( )A．①B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，抛物线y=-x²+2x+m+1交x轴与点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a=-1，则b=4；
③抛物线上有两点P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂；
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6．
其中真命题的序号是（　　）

A．

①

B．

②

C．

③

D．

④

分析利用抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对①进行判断；先求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性可对②进行判断；先求出抛物线的对称轴方程，然后比较点P和Q到对称轴的距离大小，则根据二次函数的大小可对③进行判断；先求出D点和E点坐标，则作D点关于y轴的对称点D′（-1，4），E点关于x轴的对称点E′（2，-3），连结D′E′分别交x轴和y轴于G、F点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时DF+FG+GE的值最小，所以四边形EDFG周长的最小，然后利用勾股定理计算出DE和D′E′，则可对④进行判断．

解答解：当a＜x＜b时，y＞0，所以①错误；
抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，所以A点坐标为（-1，0），则B（3，0），所以②错误；
抛物线的对称轴为直线x=1，而x₁＜1＜x₂，则点P、Q在对称轴的两旁，因为x₁+x₂＞2，所以点Q离对称轴较远，所以y₁＞y₂，所以③正确；
当m=2，则y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则D（1，4）；当x=0时，y=-x²+2x+3=3，则C（0，3），C点关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），作D点关于y轴的对称点D′（-1，4），E点关于x轴的对称点E′（2，-3），连结D′E′分别交x轴和y轴于G、F点，如图，
所以DF+FG+GE=D′F+FG+GE′=D′E′，此时DF+FG+GE的值最小，所以四边形EDFG周长的最小，最小值=$\sqrt{{1}^{2}+（4-3）^{2}}$+$\sqrt{（-1-2）^{2}+（4+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，所以④错误．
故选C．