Question

11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2$\sqrt{2}$，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．

解答 解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{+（2\sqrt{2}）}^{2}}$=4，
∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，
∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，
∴AG=BG=2
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，
∴S_△ADC=2，
∵$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ACD}}$=2，
∵△DEF∽△DAC，
∴GH=$\frac{1}{4}$BG=$\frac{1}{2}$，
∴BH=$\frac{5}{2}$，
又∵EF=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$•EF•BH=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$，
故选C．
方法二：S_△BEF=S_{四边形ABCD}-S_△ABE-S_△BCF-S_△FED，
易知S_△ABE+S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}=3，S_△EDF=$\frac{1}{2}$，
∴S_△BEF=S_{四边形ABCD}-S_△ABE-S_△BCF-S_△FED=6-3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
故选C．

点评 此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．