Question

1．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF相交于点G，连接CG．
（1）求∠CBG的度数；
（2）求证：BG+DG=CG．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由菱形的性质得出AB=AD，AD∥BC，AB∥CD，∠BCD=∠A=60°，再证明△ABD是等边三角形，由等边三角形的三线合一性质得出BF⊥AD，得出BF⊥BC即可；
（2）由HL证明Rt△CDG≌Rt△CBG，得出对应角相等∠DCG=∠BCG=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD∥BC，AB∥CD，∠BCD=∠A=60°，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵F是AD的中点，
∴BF⊥AD，
∴BF⊥BC，
∴∠CBG=90°；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，E、F分别是AB、AD的中点，
∴DE⊥AB，BF⊥AD，
∴DE⊥CD，BF⊥BC，
∴∠CDG=∠CBG=90°，
在Rt△CDG和Rt△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}&{\;}\\{CD=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），
∴∠DCG=∠BCG=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°，BG=DG，
∴BG=$\frac{1}{2}$CG，DG=$\frac{1}{2}$CG，
∴BG+DG=CG．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．