如图.平面直角坐标系xOy中.A.C.点P从点A出发.以1个单位/s的速度向点C运动,点Q从B同时出发.以2个单位/s的速度向点O运动.规定其中一个动点到达端点时.另一个动点也随之停止运动.设运动时间为ts．(1)求过O.C.B三点的抛物线解析式,(2)t为何值时.PQ=BC,中的抛物线上.是否存在点M.使以O.M.P.Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在.直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图，平面直角坐标系xOy中，A（0，12），B（40，0），C（36，12），点P从点A出发，以1个单位/s的速度向点C运动；点Q从B同时出发，以2个单位/s的速度向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts．
（1）求过O，C，B三点的抛物线解析式；
（2）t为何值时，PQ=BC；
（3）在（1）中的抛物线上，是否存在点M，使以O，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出此时t的值和M点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）首先设y=ax（x-40），然后由点C（36，12）在抛物线y=ax（x-40）上，再利用待定系数法就可求出二次函数的解析式．
（2）由PQ=BC可分四边形PCBQ是平行四边形和等腰梯形两种情况进行讨论，就可以解决问题．
（3）分别以PQ为平行四边形的边和对角线进行讨论，就可解决问题．

解答解：（1）如图1，由题可设y=ax（x-40），
∵点C（36，12）在抛物线y=ax（x-40）上，
∴a×36×（36-40）=12．
解得：a=-$\frac{1}{12}$．
∴y=-$\frac{1}{12}$x（x-40）=-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{10}{3}$x．
∴过O，C，B三点的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{10}{3}$x．

（2）①若四边形PCBQ是平行四边形，如图2，
则有PC=BQ．
∵AP=t，BQ=2t，AC=36，OB=40，
∴36-t=2t．
解得：t=12．
②若四边形PCBQ是等腰梯形，
过点P作PG⊥OB，垂足为G，如图3，
∵四边形PCBQ是等腰梯形，
∴PQ=CB，∠PQG=∠CBH．
在Rt△PGQ和Rt△CHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PQG=∠CBH}\\{∠PGQ=∠CHB}\\{PQ=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△PGQ≌Rt△CHB（AAS），
∴GQ=BH，PG=CH．
∵∠PGH=∠CHB=90°．
∴PG∥CH．
∴四边形PCHG是平行四边形．
∴PC=GH．
∴36-t=2t-2×4．
解得：t=$\frac{44}{3}$．
综上所述：当t为12秒或$\frac{44}{3}$秒时，PQ=BC；

（3）①PQ为平行四边形的一条边，
Ⅰ．若四边形OPQM是平行四边形，如图4①，
过点P作PR⊥OB，垂足为R，过点M作MS⊥OB，垂足为S，
∵四边形OPQM是平行四边形，
∴PQ∥OM，PQ=OM．
∴∠MOQ=∠PQO．
∴∠SOM=∠RQP．
在△OSM和△QRP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠SOM=∠RQP}\\{∠OSM=∠QRP}\\{OM=PQ}\end{array}\right.$，
∴△OSM≌△QRP（AAS）．
∴SM=RP，OS=QR．
∵RP=12，
∴SM=12．
∴y_M=-12．
∴-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{10}{3}$x=-12．
解得：x₁=20+4$\sqrt{34}$（舍去），x₂=20-4$\sqrt{34}$．
此时点M的坐标为（20-4$\sqrt{34}$，-12），
QR=OS=4$\sqrt{34}$-20，
OQ=OR-QR=AP-QR=t-（4$\sqrt{34}$-20）=40-2t，
解得：t=$\frac{20+4\sqrt{34}}{3}$．
Ⅱ．若四边形OQPM是平行四边形，如图4②，
则有PM=OQ．
当y=12时，-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{10}{3}$x=12，
解得：x₁=4，x₂=36（舍去）．
此时点M的坐标为（4，12），
PM=t-4，OQ=40-2t，
则有t-4=40-2t．
解得：t=$\frac{44}{3}$．
②PQ为平行四边形的一条对角线，如图5，
则四边形OPMQ是平行四边形．
∴PM∥OQ，PM=OQ．
∵点M既在PC上，又在抛物线上，
∴点M与点C重合，即点M的坐标为（36，12），
由PM=OQ得36-t=40-2t，
解得：t=4．
综上所述：当t=$\frac{20+4\sqrt{34}}{3}$时，M（20-4$\sqrt{34}$，-12）；当t=$\frac{44}{3}$时，M（4，12）；当t=4时，M（36，12）．