如图.开口向下的抛物线y=a(x-2)2+k.交x轴于点A.B.交y轴正半轴于点C.顶点为P.过顶点P.作x轴.y轴的垂线.垂足分别为M.N．(1)直接写出.当PMON为正方形时.k=2.当S△PCM=3时.k=3．(2)若a=-1.△PCM为等腰三角形.求k的值．(3)若△PCM中.∠CPM=45°.tan∠CMP=$\frac{4}{5}$.求抛物线解析式．的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，开口向下的抛物线y=a（x-2）²+k，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，顶点为P，过顶点P，作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N．
（1）直接写出，当PMON为正方形时，k=2，当S_△PCM=3时，k=3．
（2）若a=-1，△PCM为等腰三角形，求k的值．
（3）若△PCM中，∠CPM=45°，tan∠CMP=$\frac{4}{5}$，求抛物线解析式．
（4）在（3）的情况下，设PC交x轴于E，若点D为线段PE上一动点（不与P点重合），BD交△PMD的外接圆于点Q．求PQ的最小值．

分析（1）先根据抛物线的对称轴得出OM的长，再由四边形PMON为正方形得出k的值；求出抛物线的顶点坐标，再由S_△PCM=3即可得出结论；
（2）把a=-1代入抛物线的解析式，再根据CP=CM，PC=PM=k及MC=MP=k三种情况进行讨论；
（3）根据PM∥y轴可得出∠OCM=∠PMC，故可得出OC的长，再由∠CPM=45°可知△PCN为等腰三角形，故CN=PN=2，PM=ON=$\frac{9}{2}$，P（2，$\frac{9}{2}$），再把P，C两点的坐标代入求值即可；
（4）连接MQ，则∠MQD=∠MPC=45°，故∠MQB=135°．以BM为斜边向x轴下方作等腰直角三角形MEB，则点Q在以E为圆心，ME为半径的圆上，连接PE，交⊙E于点Q，此时PQ最小，再由勾股定理即可得出结论．

解答解：（1）∵抛物线的解析式为y=a（x-2）²+k，
∴OM=2．
∵PMON为正方形，
∴k=2；
∵抛物线的顶点坐标为（2，k），S_△PCM=3，
∴$\frac{1}{2}$×2k=3，解得k=3．
故答案为：2，3；

（2）a=-1时，y=（x-2）²+k=-x²+4x-4+k，
∴C（0，-4+k）．
由题意得，P（2，k），M（2，0），
当CP=CM时，-4+k=$\frac{1}{2}$k，解得k=8；
当PC=PM=k时，
在Et△PCN中，
∵PN=2，CN=k-（-4+k）=4，
∴PC=k=$\sqrt{{PN}^{2}+{CN}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
当MC=MP=k时，
在Rt△OMC中，
∵OM=2，OC=-4+k，
∴OC²+OM²=CM²，
∴（-4+k）²+4²=k²，解得k=$\frac{5}{2}$（舍去）．
综上所述，△PCM为等腰三角形时，k=8或2$\sqrt{5}$．

（3）∵PM∥y轴，
∴∠OCM=∠PMC，
∴OC=$\frac{OM}{tan∠CMP}$=$\frac{2}{\frac{4}{5}}$=$\frac{5}{2}$．
∵∠CPM=45°，
∴△PCN为等腰三角形，
∴CN=PN=2，
∴PM=ON=2+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴P（2，$\frac{9}{2}$），
∴y=a（x-2）²+$\frac{9}{2}$．
把C（0，$\frac{5}{2}$）代入得，4a+$\frac{9}{2}$=$\frac{5}{2}$，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+$\frac{9}{2}$；

（4）如图，连接MQ，则∠MQD=∠MPC=45°，
∴∠MQB=135°．
以BM为斜边向x轴下方作等腰直角三角形MEB，则点Q在以E为圆心，ME为半径的圆上，连接PE，交⊙E于点Q，此时PQ最小．
∵B（5，0），M（2，0），
∴E（$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴ME=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，PE=$\sqrt{（\frac{3}{2}+\frac{9}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{2}$，
∴PQmin=$\frac{3\sqrt{17}}{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．