Question

11．已知，如图，△ABC中，CD，CE分别是AB边上的高和中线，且∠1=∠2=∠3，求△ABC各内角的度数．

Answer 1

分析 首先根据∠1=∠2，且CD⊥AB，判断出AC=CE，AD=DE，∠CEA=∠A；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△CDE≌△CFE，推得∠CED=∠CEF，DE=EF=AD；最后在Rt△BEF中，求出∠B、∠BEF，进而求出∠A的度数是多少；再根据内角和定理，求出∠ACB的度数即可．

解答 解：如图，过E作EF⊥BC于F，，
∵∠1=∠2，且CD⊥AB，
∴AC=CE，AD=DE，∠CEA=∠A，
在△CDE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠3}\\{∠CDE=∠CFE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CFE，
∴∠CED=∠CEF，DE=EF=AD=$\frac{AE}{2}$=$\frac{BE}{2}$，
∵在Rt△BEF中，EF=$\frac{BE}{2}$，
∴∠B=30°，∠BEF=90°-30°=60°，
∴∠A=∠CED=∠CEF=（180°-∠BEF）÷2=（180°-60°）÷2=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-30°=90°，
∴∠A=60°，∠ACB=90°，∠B=30°．

点评 （1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形内角和是180°．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．