Question

12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）四边形AFBD一定是平行四边形；（不需证明）
（2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）：
①当△ABC满足条件AB=AC时，四边形AFBD是矩形形（不需证明）；
②当△ABC满足条件AB=AC，∠BAC=90°时，四边形AFBD是正方形；并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）四边形AFBD为平行四边形，理由为：由AF与CD平行，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到AE=DE，利用AAS得到三角形AFE与三角形CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF=CD，再由BD=CD，等量代换得到AF=BD，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
（2）①四边形AFBD为矩形，理由为：由AB=AC，AD为中线，利用三线合一得到AD垂直于BC，进而得到∠ADB为直角，由一个角为直角的平行四边形为矩形即可得证；
②添加条件为AB=AC，∠BAC=90°，由AB=AC，根据①得到四边形AFBD为矩形，再由∠BAC为直角，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AD=BD，根据邻边相等的矩形为正方形即可得证．

解答 解：（1）四边形AFBD为平行四边形，理由为：
证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，
∴AE=DE，BD=CD，
∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DCE}\\{∠FAE=∠CDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=CD，
∴AF=BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD为平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）①当△ABC满足条件AB=AC时，四边形AFBD是矩形，理由为：
∵AB=AC，D为BC中点，即AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∵四边形AFBD为平行四边形，
∴四边形AFBD为矩形；
故答案为：矩形；
②AB=AC，∠BAC=90°，理由为：
证明：∵E为FC的中点，
∴EF=EC，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠ECD，
∵∠AEF=∠CED，
∴△AFE≌△DEC，
∴AF=CD，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AFBD为矩形，
∵AB⊥AC，D为BC的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=BD，
∴四边形AFBD为正方形．
故答案为：AB=AC，∠BAC=90°

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．