Question

如图，OA为第一象限的角平分线，点E在y轴上，∠OEF=∠AOF，FE⊥OF交OA于M点．求证：EM=2OF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：作EP⊥OA，延长EP，OF，交于点Q，由OA为第一象限角平分线，得到∠AOE=45°，即三角形EPO为等腰直角三角形，即EP=OP，利用两对角相等的两三角形相似得到三角形OMF与三角形PME相似，得到∠PEM=∠POQ，再由一对直角相等，EP=OP，得到三角形EPM与三角形POQ全等，得到EM=OQ，由已知角相等，等量代换得到∠OEF=∠PEM，再由一对直角相等，夹边EF为公共边，利用ASA得到三角形EFO与三角形EFQ全等，得到OF=FQ，即OQ=2OF，等量代换即可得证．

解答：证明：作EP⊥OA，延长EP，OF，交于点Q，
∵OA为第一象限得角平分线，
∴∠AOE=45°，
∴△OPE为等腰直角三角形，
∴EP=OP，
∵EF⊥OF，
∴∠EFO=∠EPM=90°，
∵∠OMF=∠EMP，
∴∠POQ=∠PEM，
∵∠OEF=∠POQ，
∴∠OEF=∠PEM，
在△OEF和△QEF中，

∠OEF=∠QEF EF=EF ∠EFO=EFQ=90°

，
∴△OEF≌△QEF（ASA），
∴OF=FQ，即OQ=2OF，
在△POQ和△PEM中，

∠POQ=∠PEM OP=EP ∠OPQ=∠EPM=90°

，
∴△POQ≌△PEM（ASA），
∴EM=OQ，
则EM=2OF．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．