Question

如图，BC为△ABE的高，F在BC上，且AC=BC，CE=CF，延长AF交BE于D，若AB=AE，且BE=8cm．求△AFB的面积．

Answer 1

考点：勾股定理,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：连接EF并延长与AB相交于点G．根据等腰直角三角形的判定得到△ACB是等腰RT△，△ECF是等腰RT△，△BGF是等腰RT△，根据勾股定理得到AB和BF的长，再根据三角形的面积公式即可求解．

解答：解：连接EF并延长与AB相交于点G．
∵BC⊥AE，AC=BC，
∴△ACB是等腰RT△，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
同理，∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE=45°，△ECF是等腰RT△，
∴∠CAB+∠CEF=90°，
∴AG=EG，
∴∠AGE=90°，EF⊥AB，GF是底边AB上的高，
同理，△BGF是等腰RT△，BG=FG，
∵AB=AE=

2

BC，
∴CE=AE-AC=

2

BC-BC
根据勾股定理有：BC²+CE²=BE²，
∴BC²+（

2

BC-BC）²=8²，
解得：BC=4

2+ 2

，
∴AB=

2

BC=4

4+2 2

，
设BG=FG=x，则AG=EG=AB-x，
∵FG＜EG，x＜AB-x，
∴x＜

1

2

AB=2

4+2 2

，
根据勾股定理有：
EG²+BG²=BE²，
（AB-x）²+x²=8²，
AB²-2AB+2x²=64，
16（4+2

2

）-8

4+2 2

x+2x²=64
解得：x=2

4+2 2

-2

4-2 2

（大值不符合x＜

1

2

AB舍去）
则S△ABF=AB×BF÷2
=4

4+2 2

×[（2

4+2 2

-2

4-2 2

）]÷2
=4×（4+2

2

）-4×

16-8

=16+8

2

-8

2

=16
故△ABF的面积为16

点评：考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积公式，综合性较强，关键是作出辅助线求解．