Question

如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线．
（1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠ABD的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高EM；
（3）在（1）的条件下，若△ABC的面积为40，BD=5，求EM的长．

Answer 1

考点：三角形的角平分线、中线和高,三角形的面积,三角形内角和定理

专题：

分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABE，再根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠ABE；
（2）根据三角形的高线的定义作出即可；
（3）过点A作AF⊥BC于F，过点E作EN⊥AB于N，利用三角形的面积求出AF，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EM=EN，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵∠BED=40°，∠BAD=25°，
∴∠ABE=∠BED-∠BAD=40°-25°=15°，
∵BE为△ABD的角平分线，
∴∠ABD=2∠ABE=2×15°=30°；

（2）高EM如图所示；

（3）过点A作AF⊥BC于F，过点E作EN⊥AB于N，
∵BD=5，AD为△ABC的中线，
∴BC=2BD=2×5=10，
∴△ABC的面积=

1

2

×10×AF=40，
解得AF=8，
∴AB=2AF=2×8=16，
∵BE为△ABD的角平分线，
∴EM=EN，
∴△ABD的面积=

1

2

×（16+5）×EM=

1

2

×5×8，
解得EM=

40

21

．

点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于（3）利用△ABD的面积列出方程．