Question

15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{1}{2}$x-2与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线解析式为y=x²+bx+c．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上第一象限部分上一点，当S_△ABE=10时，求点E的坐标；
（3）F为直线AB下方抛物线上一点，连接AF，当∠FAB=∠BAO时，求F点坐标．

Answer 1

分析 （1）求出A、B坐标代入y=x²+bx+c即可解决．
（2）如图作AM∥y轴，BM∥x轴，则点M坐标为（-4，-2），根据S_△AEB=S_△AME+s_△EBM-S_△ABM=10列出方程即可解决．
（3）设点O关于直线AB的对称点G，则直线OG为y=2x，此时直线AG与抛物线交于点F，∠FAB=∠OAB，求出点G坐标后求出直线AG，解直线AB与抛物线组成的方程组即可解决问题．

解答 解：（1）直线y=-$\frac{1}{2}$x-2，令y=0，得x=-4，∴点A（-4，0），
令x=0，得y=-2，∴点B（0，-2）
把A、B两点坐标代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{16-4b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{7}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²+$\frac{7}{2}$x-2．
（2）如图作AM∥y轴，BM∥x轴，则点M坐标为（-4，-2），连接EM，设点E（m，m²+$\frac{7}{2}$m-2），
∵S_△AEB=S_△AME+s_△EBM-S_△ABM=10，
∴$\frac{1}{2}$×2×（m+4）+$\frac{1}{2}$×4×（m²+$\frac{7}{2}$m-2+2）-$\frac{1}{2}$×2×4=10，
∴m²+4m-5=0，
∴m=1（或-5不合题意舍弃）．
∴点E坐标（1，$\frac{5}{2}$）．
（3）设点O关于直线AB的对称点G，则直线OG为y=2x，此时直线AG与抛物线交于点F，∠FAB=∠OAB．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=-\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线AB与直线OG的交点H为（-$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$），
∴点G坐标为（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{16}{5}$），
设直线AG为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{-\frac{8}{5}k+b=-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$．
∴直线AG为y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}}\\{y={x}^{2}+\frac{7}{2}x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{6}}\\{y=-\frac{38}{9}}\end{array}\right.$，
∴点F坐标为（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{38}{9}$）．

点评 本题考查二次函数、一次函数的有关知识、三角形的面积、对称等知识，第二个问题的关键是添加辅助线，利用S_△AEB=S_△AME+s_△EBM-S_△ABM，列出方程解决问题，学会利用解方程组求两个函数的交点坐标，求点F坐标转化为先求直线AG，本题属于中考压轴题．