Question

20．已知关于x的一元二次方程x²+$\sqrt{{a}^{2}+2a+2}$-x+（m+1）=0对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是m≤-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由判别式的意义得出△=a²+2a+2-4（m+1）≥0对任意的实数a恒成立，解不等式即可．

解答 解：∵关于x的一元二次方程x²+$\sqrt{{a}^{2}+2a+2}$x+（m+1）=0对任意的实数a均有实数根，
∴△=a²+2a+2-4（m+1）≥0对任意的实数a恒成立，
即（a+1）²-（4m+3）≥0，
∴4m+3≤0，
∴m≤-$\frac{3}{4}$．
故答案为m≤-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．