题目内容
概念：点P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知O（0，0），A（
，1），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述概念，完成下面的问题（直接写答案）
①当m=2
，n=1时，如图1，线段BC与线段OA的理想距离是 ；
②当m=2
，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的理想距离为 ；
③当m=2
，若线段BC与线段OA的理想距离为
，则n的取值范围是 ．
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的理想距离记为d，则d的最小值为 （说明理由）
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为1，线段BC的中点为G，求点G随线段BC运动所走过的路径长是多少？
| 3 |
（1）根据上述概念，完成下面的问题（直接写答案）
①当m=2
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②当m=2
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③当m=2
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（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的理想距离记为d，则d的最小值为
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为1，线段BC的中点为G，求点G随线段BC运动所走过的路径长是多少？
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）根据题意画出线段BC图象易知．
（2）由n≥1即B点在过A平行于x轴直线的上方，又B落在圆心为A，半径为1的圆上，此时B只能沿上半圆运动，设从平行线与圆A的交点向右运动，则过程中d开始由小变大，恰为B点到线段OA的距离，当运动至过A的OA垂线与圆交点时，d恰为圆A半径1，继续向右运动，d始终为圆A半径1，则讨论最小情形即可．
（3）动线段BC与线段OA的距离始终为1，根据前两问，BC线段的运动轨迹易知．讨论其上G点的运动轨迹长度，可以转化为B点的运动轨迹，画出图象，利用平移图象等性质将图中非直线轨迹平移拼凑，易得规则图象，则路径长可求．
（2）由n≥1即B点在过A平行于x轴直线的上方，又B落在圆心为A，半径为1的圆上，此时B只能沿上半圆运动，设从平行线与圆A的交点向右运动，则过程中d开始由小变大，恰为B点到线段OA的距离，当运动至过A的OA垂线与圆交点时，d恰为圆A半径1，继续向右运动，d始终为圆A半径1，则讨论最小情形即可．
（3）动线段BC与线段OA的距离始终为1，根据前两问，BC线段的运动轨迹易知．讨论其上G点的运动轨迹长度，可以转化为B点的运动轨迹，画出图象，利用平移图象等性质将图中非直线轨迹平移拼凑，易得规则图象，则路径长可求．
解答：解：（1）①
．
分析如下：
如图1，理想距离为线段AB，由AB∥x轴，故AB=2
-
=
．
②2．
分析如下：
如图2作辅助线，AB记为理想距离．此时，AD=
，BD=1，所以由勾股定理，AB=2．
③-1≤n≤1．
分析如下：
如图3，若理想距离为
，则以点A为圆心，
为半径画圆，⊙A内部不能包含线段BC的点，由B点横坐标为2
，所以BC线段只能为从B为（2
，1）的线段向下平移至C为（2
，1）线段过程中所有的线段，如此n的范围-1≤n≤1．
（2）
．
理由如下：
如图4，过点A作x轴的平行线，交⊙A于B，过点B作BD⊥OA于D．
由n≥1，且B点在圆上，则运动过程中，此时BC到OA的理想距离最小，即为BD．
过点A作AE⊥x轴于E，
在Rt△AOE中，
∵A（
，1），
∴OE=
，AE=1，
∴OA=2=2AE，
∴∠AOE=30°．
∵AB∥OE，
∴∠BAD=∠AOE=30°，
在Rt△ABD中，
∵AB=1，
∴BD=
AB=
．
（3）如图所示：
依题意，如图5，过A作OA的垂线交⊙A于B1、E，过点A作x轴的平行线交⊙A的右半弧与B2，以O为圆心，作同⊙A同半径的圆，交x轴于B7，过O作OA的垂线交⊙O于B8、F，以B2、E、F、B7分别向下2个单位长度，记为B3、B4、B5、B6．
则若动线段BC与线段OA的距离始终为1，线段BC的点B的运动轨迹应为：
从B1沿劣弧
运动至B2；再垂直x轴向下沿B2B3运动2个单位到B3；
再由B3运动到B4，此时因为C点恰从B2沿劣弧
运动到E，所以B3运动到B4的轨迹路程=
；
再由B4运动到B5，此时因为C点恰从E沿线段EF运动到F，所以B4运动到B5的轨迹路程=EF；
再由B5运动到B6，此时因为C点恰从F沿劣弧
运动到B7，所以B5运动到B6的轨迹路程=
；
再垂直x轴向上沿B6B7，运动2个单位到B7；从B7沿劣弧
运动至B8；最后沿线段B8B1回到B1．
∵C在B上方2个单位长度，G为线段BC的中点，
∴G在B上方1个单位长度，
∴B点的运动轨迹向上平移1个单位长度得G点的运动轨迹，
∴G随线段BC运动所走过的路径长=B点运动所走过的路径长=
+B2B3+
+EF+
+B6B7+
+B8B1．
∵⊙A的半径=⊙O的半径=
，
∴C⊙A=C⊙O=2•π•1=2π，
∴
+
=
•C⊙A=π，
+
=
•C⊙O=π．
∵B8B1=EF=OA=2，B2B3=2，B6B7=2，
∴
+B2B3+
+EF+
+B6B7+
+B8B1=B2B3+EF+B3+B1B2^+
+B6B7+B8B1+
+
=2+2+π+2+2+π=8+2π，
∴G随线段BC运动所走过的路径长为8+2π．
| 3 |
分析如下：
如图1，理想距离为线段AB，由AB∥x轴，故AB=2
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| 3 |
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②2．
分析如下：
如图2作辅助线，AB记为理想距离．此时，AD=
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③-1≤n≤1．
分析如下：
如图3，若理想距离为
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（2）
| 1 |
| 2 |
理由如下：
如图4，过点A作x轴的平行线，交⊙A于B，过点B作BD⊥OA于D．
由n≥1，且B点在圆上，则运动过程中，此时BC到OA的理想距离最小，即为BD．
过点A作AE⊥x轴于E，
在Rt△AOE中，
∵A（
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∴OE=
| 3 |
∴OA=2=2AE，
∴∠AOE=30°．
∵AB∥OE，
∴∠BAD=∠AOE=30°，
在Rt△ABD中，
∵AB=1，
∴BD=
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| 2 |
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（3）如图所示：
依题意，如图5，过A作OA的垂线交⊙A于B1、E，过点A作x轴的平行线交⊙A的右半弧与B2，以O为圆心，作同⊙A同半径的圆，交x轴于B7，过O作OA的垂线交⊙O于B8、F，以B2、E、F、B7分别向下2个单位长度，记为B3、B4、B5、B6．
则若动线段BC与线段OA的距离始终为1，线段BC的点B的运动轨迹应为：
从B1沿劣弧
 |
| B1B2 |
再由B3运动到B4，此时因为C点恰从B2沿劣弧
|
| B2E |
|
| B2E |
再由B4运动到B5，此时因为C点恰从E沿线段EF运动到F，所以B4运动到B5的轨迹路程=EF；
再由B5运动到B6，此时因为C点恰从F沿劣弧
|
| FB7 |
|
| FB7 |
再垂直x轴向上沿B6B7，运动2个单位到B7；从B7沿劣弧
|
| B7B8 |
∵C在B上方2个单位长度，G为线段BC的中点，
∴G在B上方1个单位长度，
∴B点的运动轨迹向上平移1个单位长度得G点的运动轨迹，
∴G随线段BC运动所走过的路径长=B点运动所走过的路径长=
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| B1B2 |
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| B2E |
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| FB7 |
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| B7B8 |
∵⊙A的半径=⊙O的半径=
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∴C⊙A=C⊙O=2•π•1=2π，
∴
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| B1B2 |
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| B2E |
| 1 |
| 2 |
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| FB7 |
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| B7B8 |
| 1 |
| 2 |
∵B8B1=EF=OA=2，B2B3=2，B6B7=2，
∴
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| B1B2 |
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| B2E |
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| FB7 |
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| B7B8 |
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| B2E |
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| FB7 |
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| B7B8 |
∴G随线段BC运动所走过的路径长为8+2π．
点评：本题考查了学生的理解能力和创新能力，题中通过介绍“理想距离”来引出学生对动态图象理想距离的识别，这是新课标要求我们掌握的技能．在深度理解理想距离定义、特点后难度并不高，并且再讨论运动路径的时候需要学生动手作图理解运动过程，是一道非常值得学生锻炼的题目．
练习册系列答案
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