Question

14．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）分别求出该反比例函数和直线AB的解析式；
（2）求出交点D坐标．

Answer 1

分析 （1）先得到BE=6，再根据三角函数的定义计算出CE=3，OA=2，然后利用待定系数法分别求出反比例函数和直线AB的解析式；
（2）先联立反比例函数和直线AB的解析式，解方程组可得到D点坐标．

解答 解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=6，B（4，0），
又∵CE⊥X轴于点E，tan∠ABO=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=3，
∴C（-2，3），
设反比例的解析式为y=$\frac{m}{x}$，
∴m=-2×3=-6，
∴反比例的解析式为y=-$\frac{6}{x}$；
∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，OB=4，
∴OA=2，
∴A（0，2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（0，2），B（4，0）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
解得x₁=6，x₂=-2，
当x=6时，y=-1；x=-2时，y=3．
∵C（-2，3），
∴D（6，-1）．

点评 本题主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式以及三角函数的定义，正确利用三角函数的定义求得点C的坐标是关键．