Question

6．如图，两等腰直角三角形ABC和DEF有一条边BC与EF在同一直线上，DE=4，AB=2．设EC=m（0≤m≤4），点M在线段AD上，且∠MEB=45°．
（1）当m=4时，$\frac{AM}{DM}$=1；
（2）当m=4时，△ABC绕点C逆时针旋转90°，求$\frac{AM}{DM}$的值；
（3）当0＜m＜4时，△ABC绕点C逆时针旋转∂度（0＜∂＜90°），原题中其它条件不变，求$\frac{AM}{DM}$的值（用含m的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）如图，当m=4时，C与F重合．设EM交DF于N．只要证明EM∥AF，EM⊥DF即可解决问题；
（2）只要证明△AEM∽△FEB，可得$\frac{AM}{BF}=\frac{AE}{EF}$，推出$AM=\sqrt{2}$，推出$DM=AD-AM=\sqrt{2}$，由此即可解决问题；
（3）如图3中，过B作BE的垂线交直线EM于点G，连接AG、BG．只要证明△ABG≌△CBE，推出AG=EC=m，∠AGB=∠CEB，推出∠AGM=∠DEM，推出AG∥DE，推出△AGM∽△DEM．可得$\frac{AM}{DM}=\frac{AG}{DE}=\frac{m}{4}$；

解答 解：（1）如图，当m=4时，C与F重合．设EM交DF于N．

∵∠DFE=∠AFB=45°，
∴∠DFA=90°，
∵∠MEB=∠DFE=45°，
∴∠ENF=90°，
∴EM⊥DF，∠ENF=∠DFA，
∴EM∥AF，DN=NF，
∴$\frac{DM}{AM}$=$\frac{DN}{NF}$=1，
∴DM=AM．
故答案为1；

（2）如图2中，连接AE、BE．

∵△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，DE=4，AB=2，
∴EF=4，BC=2，∠DEF=90°
∴DF=$4\sqrt{2}$，AC=$2\sqrt{2}$，∠EFB=90°，
∴DF=2AC，AD=$2\sqrt{2}$，
∴点A为CD的中点，
∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，
∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=$2\sqrt{2}$，
∵∠BEM=45°，
∴∠AEM=∠FEB，
∴△AEM∽△FEB，
∴$\frac{AM}{BF}=\frac{AE}{EF}$，
∴$AM=\sqrt{2}$，
∴$DM=AD-AM=\sqrt{2}$
∴$\frac{AM}{DM}=1$．

（3）如图3中，过B作BE的垂线交直线EM于点G，连接AG、BG．

∴∠EBG=90°
∵∠BEM=45°，
∴∠EGB=∠BEM=45°，
∴BE=BG
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠CBE，
∴△ABG≌△CBE，
∴AG=EC=m，∠AGB=∠CEB，
∵∠AGB+∠AGM=∠CEB+∠DEM=45°，
∴∠AGM=∠DEM，
∴AG∥DE，
∴△AGM∽△DEM．
∴$\frac{AM}{DM}=\frac{AG}{DE}=\frac{m}{4}$

点评 本题考查相似形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．