Question

12．如图，△ABC中，∠BAC=90°，E为AC的中点，AM⊥BC于M，EM交AB的延长线于N．
（1）求证：AM²=BM•CM；
（2）若AM=2，EM=$\sqrt{5}$，求$\frac{BN}{MN}$．

Answer 1

分析 （1）证出∠AMB=∠CMA=90°，∠CAM=∠ABM，证明△CAM∽△ABM，得出的也不错了，即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得出AC=2EM=2$\sqrt{5}$，EM=CE，由勾股定理求出CM，得出BM，再证明△BMN∽△MAN，得出对应边成比例$\frac{BN}{MN}=\frac{BM}{AM}$，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，AM⊥BC，
∴∠BAM+∠CAM=90°，∠AMB=∠CMA=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠CAM=∠ABM，
∴△CAM∽△ABM，
∴AM：BM=CM：AM，
∴AM²=BM•CM；
（2）解：∵∠CMA=90°，E为AC的中点，
∴AC=2EM=2$\sqrt{5}$，EM=CE，
∴CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵AM²=BM•CM，
∴BM=$\frac{A{M}^{2}}{CM}$=$\frac{{2}^{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵EM=CE，
∴∠C=∠EMC=∠BMN，
∵∠C=∠BAM，
∴∠BAM=∠BMN，
又∵∠N=∠N，
∴△BMN∽△MAN，
∴$\frac{BN}{MN}=\frac{BM}{AM}$=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；证明三角形相似得出对应边成比例是解决问题的关键．