Question

4．已知△ABC的三边长BC=a，CA=b，AB=c，a，b，c都是整数，且a，b的最大公约数为2．点G和点I分别为△ABC的重心和内心，且∠GIC=90°．则△ABC的周长为35．

Answer 1

分析 延长GI分别交BC于点P，AC于点Q，首先证明△CPQ为等腰三角形，根据内心和重心的知识分别表示出△PCQ的面积，进而求出a，b，c之间的等量关系式，最后对a，b，c进行讨论，进而求出a，b和c的值．

解答 解：延长GI分别交BC于点P，AC于点Q，
∵∠GIC=90°，
∴GI⊥CI，I是内心，
∴△CPQ为等腰三角形，
∴PC=QC，
∴S_△PCQ=2S_△CQI=r×CQ（r为三角形ABC内切圆半径）
∴S_△PCQ=S_△PGC+S_△CGQ，
=$\frac{1}{2}$PC•ha（ha为GE⊥BC的高）+$\frac{1}{2}$CQ•hb（hb为GF⊥AC的高）
=$\frac{1}{2}$CQ（ha+hb）=r×CQ
∴2r=ha+hb①
∵r=$\frac{2{S}_{△ABC}}{a+b+c}$②
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×a•ha'（ha'为AM⊥BC的高）=$\frac{3}{2}$×a•ha，
∴ha=$\frac{2{S}_{△ABC}}{3a}$，hb=$\frac{2{S}_{△ABC}}{3b}$，
∴ha+hb=$\frac{2{S}_{△ABC}}{3a}$+$\frac{2{S}_{△ABC}}{3b}$③
把②③代入①得$\frac{6}{a+b+c}$，
当a=2，b=2时，c=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴GI重合，舍去，
∴a≠b，
设a＞b，a=2m，b=2n，
∵a、b的最大公约数为2，
∴（m，n）=1，
∴m+n整除12，
即m=7，n=5，
∴a=14，b=10，c=11，
∴a+b+c=35．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：记住三角形内心的性质（三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角）．解决本题的关键是求出∠DIF．