Question

1．点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE同侧，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=70°，直线AE，BD交于点F．
（1）如图（1），求证：△BCD∽△ACE，并求∠AFB的度数；
（2）如图（1）中的△ABC绕点C旋转一定角度，得图（2），求∠AFB的度数；
（3）拓展：如图（3），矩形ABCD和矩形DEFG中，AB=1，AD=ED=$\sqrt{3}$，DG=3，直线AG，BF交于点H，请直接写出∠AHB的度数．

Answer 1

分析 （1）由题意易得△ABC∽△EDC，进一步证得△BCD∽△ACE，进而可得∠AFB=∠CBD+∠AEC=∠CAE+∠AEC=∠ACB=55°，同理可得，∠AFB的大小；
（2）由题意易得△ABC∽△EDC，进一步证得△BCD∽△ACE，可求得∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF=∠CDE+∠CED，代入数据求大小；
（3）根据矩形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠EDG=∠E=90°，根据勾股定理得到BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=2，DF=$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，根据三角函数的定义得到∠ADB=∠FDG=30°，推出△ADG∽△BDF，根据相似三角形的性质得到∠GAD=∠FBD，推出A，B，D，H四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=70°，
∴∠ACB=∠DCE=$\frac{1}{2}$（180°-70°）=55°，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CE}$，
∵∠CBD=∠CAE，
∴△BCD∽△ACE；
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD，
=180°-∠BAC-∠ABC，
=∠ACB，
∴∠AFB=55°；

（2）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴∠ACB=∠DCE=$\frac{1}{2}$（180°-70°）=55°，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{AC}{CD}$，
∵∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠BDC=∠AEC，
∴∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF，
=∠CDE+∠CED=180°-∠DCE，
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠DEC=70，
∴∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$×70°=55°，
∴∠AFB=180°-55°=125°；

（3）连接BD，DF，
在矩形ABCD和矩形DEFG中，
∵∠BAD=∠ADC=∠EDG=∠E=90°，
∵AB=1，AD=ED=$\sqrt{3}$，DG=3，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=2，DF=$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠FDG=$\frac{GF}{DG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ADB=∠FDG=30°，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DG}{DF}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠ADG=90°+∠ADE，∠BDF=∠ADB+∠ADE+∠EDF=30°+∠ADE+90°-30°=90°+∠ADE，
∴∠ADG=∠BDF，
∴△ADG∽△BDF，
∴∠GAD=∠FBD，
∴A，B，D，H四点共圆，
∴∠AHB=∠ADB=30°．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题时应根据图形旋转的变化规律，探究两个角之间的数量关系．并且本题突出考查从特殊与一般的数学思想和实验研究的能力，让学生经历了动手操作、观察猜想、合情推理、归纳证明等全过程，题目的难度不小．