Question

3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD平分圆周角∠ACB，交AB于E，若AC=2BC，求$\frac{CE}{DE}$的值．

Answer 1

分析 设BC=x，则AC=2x，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{5}$x，根据三角形的面积公式得到CF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，连接OD，过C作CF⊥AB于F，通过△OED∽△CFE，即可得到结论．

解答 解：∵AC=2BC，
∴设BC=x，则AC=2x，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{5}$x，
∴CF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
连接OD，过C作CF⊥AB于F，
∵弦CD平分圆周角∠ACB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD⊥AB，
∴∠DOE=∠CFO=90°，
∵∠OED=∠CEF，
∴△OED∽△CFE，
∴$\frac{CE}{DE}=\frac{CF}{OD}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}x}{\frac{\sqrt{5}}{2}x}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，正确的在作出辅助线是解题的关键．