Question

17．如图，Rt△ABO中，△AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO=1：$\sqrt{2}$，若已知点A在双曲线y=$\frac{1}{x}$上，点B在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，求k的值．

Answer 1

分析 设点B坐标为（x，y），分别过点A、B作AC，BD分别垂直y轴于点C、D，由相似三角形的判定定理得出△AOC∽△OBD，再由相似三角形的性质得出△OBD的面积，进而根据三角形面积公式可得出结论．

解答 解：设点B坐标为（x，y），分别过点A、B作AC，BD分别垂直y轴于点C、D，
∵∠ACO=∠BDO=90°，
∠AOC+∠BOD=90°，
∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△BOD}}$=（$\frac{OA}{OB}$）²=（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{1}{2}$，
设点A（x₀，y₀）且x₀，y₀满足y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$，
∴S_△BOD=1，
而点B坐标为（x，y），
∴$\frac{1}{2}$x•（-y）=1，
∴xy=-2．
∴k=-2．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特点，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．