如图.平面直角坐标系xOy中.一次函数y=-x+b的图象与x轴.y轴分别交于A.B两点.半径为5的圆⊙O与x轴正半轴相交于点C.与y轴相交于D.E两点．(1)若直线AB交劣弧$\widehat{CD}$于P.Q两点①当P点坐标为(3.4)时.求b值,②求∠CPE的度数.并用含b的代数式表示弦PQ的长,(2)当b=6时.线段AB上存在几个点F.使∠CFE=45°?请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，半径为5的圆⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于D、E两点．
（1）若直线AB交劣弧$\widehat{CD}$于P、Q两点（异于C、D）
①当P点坐标为（3，4）时，求b值；
②求∠CPE的度数，并用含b的代数式表示弦PQ的长（写出b的取值范围）；
（2）当b=6时，线段AB上存在几个点F，使∠CFE=45°？请说明理由．

分析（1）①直接将点P的坐标代入直线y=-x+b中，即可求出b的值，
②先求出直线OM的解析式，即可得出点M的坐标，进而得出OM，再用勾股定理即可得出PM，即可得出PQ；
（2）先判断出点F是劣弧$\widehat{CD}$上时，∠CFE=45°，进而判断b=6是线段AB与⊙O的交点的个数即可得出结论．

解答解：（1）①∵点P（3，4）在直线AB上，
∴-3+b=4，
∴b=7，

②∵∠COE=90°，
∴∠CPE=$\frac{1}{2}$∠COE=45°，
如图1，过点O作OM⊥AB于M，连接OP，
∵直线AB的解析式为y=-x+b①，
∴直线OM的解析式为y=x②，
联立①②解得点M（$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{2}$b），
∴OM²=$\frac{1}{2}$b²，
在Rt△POM中，OP=5，根据勾股定理得，PM=$\sqrt{O{P}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{50-{b}^{2}}$，
∴PQ=2PM=$\sqrt{2}$•$\sqrt{50-{b}^{2}}$，
当点P和点D重合时，b=5
当OM=5时，b=-5$\sqrt{2}$（舍）或b=5$\sqrt{2}$，
∴5≤b＜5$\sqrt{2}$，
即：PQ=$\sqrt{2}$•$\sqrt{50-{b}^{2}}$（5≤b＜5$\sqrt{2}$）；

（2）当b=6时，线段AB上存在2个点F，使∠CFE=45°，
理由：由（1）②知，点F在劣弧$\widehat{CD}$上时，∠CFE=45°，
由（1）②知，OM=5时，即：b=5$\sqrt{2}$时，直线AB与⊙O相切，
当点B与点D重合时，b=5，
∴当b=6时，在5到5$\sqrt{2}$之间，
∴线段AB与⊙Q有两个交点，
即：当b=6时，线段AB上存在2个点F，使∠CFE=45°．