Question

13．在平面直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0）．将点P₀绕着原点O按顺时针方向旋转45°得点P₁，延长OP₁到点P₂，使OP₂=2OP₁；再将点P₂绕着原点O按顺时针方向旋转45°得点P₃，延长OP₃到点P₄，使OP₄=2OP₃，…，如此进行下去，则线段OP₂₀₁₄的长为（　　）

• A． 2²⁰¹⁴
• B． 2²⁰¹³
• C． 2¹⁰⁰⁷
• D． 2¹⁰⁰⁶

Answer 1

分析 根据旋转的性质，OP₀=1，OP₁=1，OP₂=2OP₁=2；OP₃=OP₂=2，OP₄=2OP₃=2²；OP₅=OP₄=2²，OP₆=2OP₅=2³；于是得到P点的角标数为偶数2n时，则此时OP的长为2的n次幂，然后取n=1007即可．

解答 解：OP₀=1，OP₁=1，OP₂=2OP₁=2，
OP₃=OP₂=2，OP₄=2OP₃=2²，
OP₅=OP₄=2²，OP₆=2OP₅=2³，
…，
所以OP₂₀₁₄=2¹⁰⁰⁷．
故选C．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是根据新定义画出几何图形．